Юрий Соломин решил стать актером, когда увидел в городском кинотеатре родной Читы документальный фильм «Малый театр и его мастера» с легендами Малого. Под впечатлением от просмотра отправил копию своего школьного аттестата в Театральное училище имени Щепкина.
В 1953 году впервые приехал в Москву – поступать. На вокзале их с отцом обокрали и шанс задержаться сводился к нулю. Помогла Вера Николаевна Пашенная – будущий руководитель курса в театральном. Она оставила мальчика. И как оказалось, навсегда. 63 года Соломин играет на сцене Малого театра и 60 лет преподает в Высшем театральном училище имени М.С. Щепкина.
Дебютом в кино стала картина «Бессонная ночь». Актер увидел себя на экране и подумал, что он «некрасивый и нескладный». А после выхода кинофильма «Адъютант его превосходительства» Юрий Соломин считался одним из самых красивых артистов страны.
Когда Марк Захаров пригласил артиста сниматься в «Обыкновенном чуде», они не были даже знакомы лично. А Соломин мечтал сыграть у Захарова.
В составе съемочной группы фильма «Дерсу Узала» получил премию «Оскар».
После «Дерсу Узала» Юрий Соломин навсегда полюбил Японию, ее культуру, не раз возил туда Малый театр на гастроли. В 1976 году в русско-японской картине Сергея Соловьева «Мелодии белой ночи» сыграл русского дирижера, влюбленного в японскую пианистку в исполнении Комаки Курихара.
На занятия режиссурой его благословил сам Акира Куросава. Дебют Соломина как театрального режиссера состоялся в Болгарии. Он поставил там «Лес» Островского.
В 1990 -1991 годы занимал пост Министра культуры в составе первого Правительства Российской Федерации.
Юрий Соломин – первый избранный труппой, а не назначенный, художественный руководитель. Он возглавляет Малый театр уже более 30 лет. С 6 апреля 2019 года его должность является бессрочной.
Важное место в жизни Юрия Соломина занимают собаки, у которых, по его словам, нужно учиться любви и преданности. Со своей любимой овчаркой – Маклаем – актер снимался в фильме «Московская сага».