Алексей родился на Украине. Его родители – железнодорожники. По их стопам когда-то планировал пойти и сам Фатеев.
В школьные годы актер увлекался музыкой и вокалом, посещал музыкальную школу.
Будущий артист учился в железнодорожном институте, однако позже задумался и о музыкальном образовании. Алексей закончил училище культуры, получив специальность «дирижер-хоровик».
Первые актерские навыки Фатеев приобрел там же – в училище культуры, принимая участие в дипломных спектаклях студентов режиссерского факультета. Со второго курса артист начал играть на сцене местного Драмтеатра.
Постепенно актерское искусство перешло на первое место среди увлечений Алексея, поэтому после получения диплома он устроился на службу именно в театр. Сейчас артист трудится в театре им. Маяковского.
Музыкальное образование Фатееву тоже пригодилось, так как Алексей часто выступает на сцене и в качестве певца.
Артист женат. Его супруга Алина не причастна к миру кино и театра. У пары есть дочь Мария. Все свободное время актер посвящает семье. Каждый год он с женой и дочерью обязательно отправляется в путешествие.
Кроме работы в кино, Алексей часто озвучивает героев за кадром. Он подарил свой голос зарубежным актерам в кинолентах «Шикарное приключение Шарпей», «Брак по завещанию. Возвращение Сандры», «Человек-муравей» и других. Также голосом Фатеева говорят герои мультипликационных фильмов «Покахонтас-2: Путешествие в Новый Свет», «Тачки-2», «Холодное сердце».
В интервью артист жаловался, что закрепиться в Москве оказалось непростой задачей. Трудности возникли и при получении гражданства. Проблему получилось уладить с помощью друзей. Тем же, кто решил покорять столицу, советует «наступить на горло своей гордости».
Алексей Фатеев признавался, что поступить на железнодорожника с первого раза не получалось, помогли связи, которые подняла мама.